Question

17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求证：a，b，c依次成等比数列；
（2）若b=2，求u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．

Answer 1

分析 （1）将已知中2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC展开合并，再用正弦定理即可得到结论；
（2）若b=2，则ac=4，利用基本不等式，可得当且仅当|a-c|=$\sqrt{3}$时，u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|取最小值2$\sqrt{3}$，再由余弦定理，可得cosB的值．

解答 证明：（1）∵2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC，
∴2cosAcosC+2sinAsinC+1-2sin²B=1+2cosAcosC，
即2sinAsinC-2sin²B=0，
即sinAsinC=sin²B，
即ac=b²，
∴a，b，c依次成等比数列；
解：（2）若b=2，则ac=4，
则u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|=|$\frac{{（a-c）}^{2}+3}{a-c}$|=|a-c|+|$\frac{3}{a-c}$|≥2$\sqrt{3}$，
当且仅当|a-c|=$\sqrt{3}$时，u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|取最小值2$\sqrt{3}$，
此时cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{（a-c）}^{2}+2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查的知识点是基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理，等比数列的确定，难度中档．