Question

4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c-b=2bcosA．
（1）若a=2$\sqrt{6}$，b=3，求c；
（2）若C=$\frac{π}{2}$，求角B．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a²=b²+bc，代入已知即可解得c的值．
（2）由题意A+B=$\frac{π}{2}$，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin²B+sinB-1=0，解得sinB，即可求B=$\frac{π}{6}$．

解答 解：（1）∵c-b=2bcosA．
∴由余弦定理可得：c-b=2b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：a²=b²+bc，
∵a=2$\sqrt{6}$，b=3，
∴24=9+3c，解得：c=5．
（2）∵C=$\frac{π}{2}$，∴A+B=$\frac{π}{2}$，可得sinA=cosB，cosA=sinB，
∴c-b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，
可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，
解得：cos²B+sin²B=2sin²B+sinB=1，即：2sin²B+sinB-1=0，
可得：sinB=$\frac{1}{2}$或-1（舍去）．即B=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．