Question

4．如图，在四棱锥中P-ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB．
（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得$\frac{AN}{NC}=\frac{AQ}{BC}=\frac{1}{2}$，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．

解答 证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，
∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB．
解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，
∵AQ∥BC，∴$\frac{AN}{NC}=\frac{AQ}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵PN∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面MQB∩平面PAC=MN，
∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{AN}{NC}$，
综上，得$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{2}$，∴MC=2PM，
∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．