Question

12．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是同一平面内三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（1）若$\overrightarrow{b}$=（1，m），且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求实数m的值；
（2）若$\overrightarrow{c}$为单位向量，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{c}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m的值；
（2）设出$\overrightarrow{c}$=（x，y），根据题意列出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，m），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，1+m），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，1-m）；
又$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=3+（1+m）（1-m）=0，
解得m=±2；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由$\overrightarrow{c}$为单位向量，得x²+y²=1①；
又$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，∴2y-x=0②；
由①、②组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$；
∴向量$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了向量的垂直和共线问题，是基础题目．