Question

6．已知f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可；
（2）利用奇偶性的定义，看f（-x）和f（x）的关系，得到结论．
（3）由对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，可得-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（3）f（x）＞0，即log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，
即log_a$\frac{1+x}{1-x}$＞0，
①a＞1，等价于$\frac{1+x}{1-x}$＞1，等价于1+x＞1-x，又等价于x＞0．
故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．
②对0＜a＜1，等价于0＜$\frac{1+x}{1-x}$＜1，等价于-1＜x＜0．
故对0＜a＜1，当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．

点评 本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．