Question

3．已知抛物线C：y²=4x，倾斜角为α的直线l过点F（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，A，B在直线x=-1上的射影分别为A₁，B₁，记m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$，则（　　）

• A． m＞0
• B． m＜0
• C． m=0
• D． m值与α有关

Answer 1

分析 由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可证∠BFB₁=∠B₁FK，再利用平角为180°，即∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，∠A₁FB₁=90°，m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$=丨$\overrightarrow{F{A}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{F{A}_{2}}$丨cos∠A₁FB₁=0．

解答 解：由题意可知：抛物线C：y²=4x，焦点坐标F（1，0），准线方程x=-1，
如图：设准线与x轴的交点为K，
∵A、B在抛物线的准线上的射影为A₁、B₁，
由抛物线的定义可得，丨AA₁丨=丨AF丨，
∴∠AA₁F=∠AFA₁，
又由内错角相等可知：∠AA₁F=∠A₁FK，
∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可证∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，
∴∠A₁FB₁=90°，
∵m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$=丨$\overrightarrow{F{A}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{F{A}_{2}}$丨cos∠A₁FB₁=0，
故选C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，抛物线的定义，考查两条直线平行，内错角相等，考查向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．