Question

15．如图，三棱锥A-BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2$\sqrt{6}$，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是  $2\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．

解答 解：如图，

取BC中点O，在△ABC和△BCD中，
∵CA=AB=BC=CD=DB=2，
∴AO=DO=2$\sqrt{3}$，
在△AOD中，AO=DO=2$\sqrt{3}$，又AD=2$\sqrt{6}$，
∴cos∠AOD=$\frac{A{O}^{2}+D{O}^{2}-A{D}^{2}}{2•AO•DO}$=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=0，
则∠AOD=$\frac{π}{2}$，
∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，
A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的$\frac{1}{4}$圆周，
∴A、D两点所经过的路程之和是$\frac{1}{2}$×2π×OA=$2\sqrt{3}π$．
故答案为：$2\sqrt{3}π$．

点评 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查了空间想象能力和理解能力，训练了圆的周长公式的应用，是中档题．