从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试.获得掷实心球的成绩数据.整理得到数据分组及频率分布表.成绩在11.0米的男生为“优秀生．分组(米)频数频率[3.0.5.0)0.10[5.0.7.0)0.10[7.0.9.0)0.10[9.0.11.0)0.20[11.0.13.0)0.40[13.0.15.0)10合计1.00(Ⅰ)求参加测试的男生中“优秀生的人数,(Ⅱ)从参加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．

分组（米）	频数	频率
[3.0，5.0）		0.10
[5.0，7.0）		0.10
[7.0，9.0）		0.10
[9.0，11.0）		0.20
[11.0，13.0）		0.40
[13.0，15.0）	10
合计		1.00

（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；
（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；
（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）由频率分布直方图先求出第6小组的频率，由第6小组的频率为10，能求出总人数，由此能求出“优秀生”的人数．
（Ⅱ）根据分层抽样，在各组抽取的人数分别1人，1人，1人，2人，4人，1人．其中成绩不低于13.0米的有1人．设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，利用排列组合知识能求出至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率．
（Ⅲ）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．由题意知X的可能取值为0，1，2，3．分另求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）第6小组的频率为1-（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，
∵第6小组的频数为10，
∴总人数为$\frac{10}{0.10}$=100（人）．
∴第5、6组的学生均为“优秀生”，人数为（0.40+0.10）×100=50（人）．
即“优秀生”的人数为50． …（4分）
（Ⅱ）根据分层抽样，在各组抽取的人数分别1人，1人，1人，2人，4人，1人．
其中成绩不低于13.0米的有1人．
设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，则P（A）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
∴选出的2名男生的成绩中至少有1名男生的成绩不低于13.0米的概率为$\frac{1}{5}$．…（7分）
（Ⅲ）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．
由题意知X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{0}（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）=\frac{3}{8}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{0}$=$\frac{1}{8}$．
所求分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴EX=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．…（13分）

点评本题考查频率分布直方图、概率、离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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