题目内容

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x₀∈D使得当x∈D且x＞x₀时，总有 $数学公式$ ，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）= $数学公式$ ②f（x）=10^-x+2，g（x）= $数学公式$ ③f（x）= $数学公式$ ，g（x）= $数学公式$ ④f（x）= $数学公式$ ，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是

A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

C
分析：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．
解答：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=x²，g（x）= $\text{[math]}$ ，当x＞1时便不符合，所以①不存在；
对于②f（x）=10^-x+2，g（x）= $\text{[math]}$ 肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）-g（x）→0；
对于③f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设λ（x）=x-lnx， $\text{[math]}$ ＞0，且lnx＜x，
所以当x→∞时x-lnx越来愈大，从而f（x）-g（x）会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）=2（x-1-e^-x），当x→0时， $\text{[math]}$ ，
因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C
故选C
点评：本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目

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对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x₀∈D使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m

0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=

②f（x）=10^-x+2，g（x）=

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（　　）

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x₀∈D，使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m

0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=

；
②f（x）10^-x+2，g（x）=

；
③f（x）=

；
④f（x）=

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是

（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|1≤x≤3}的四组函数如下：
①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
④f（x）=

），g（x）=

x
其中，函数f（x）印g（x）在D上为“密切函数”的是

（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=

； ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e为自然对数的底数），g（x）=2-x；④f（x）=

．
其中，函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”的是

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：
①f（x）=lnx-1，g（x）=

②f（x）=x³，g（x）=3x-1
③f（x）=e^x-2x，g（x）=-x ④f（x）=

其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是