Question

给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.

 

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆标准方程及其a,b,c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴随圆”的方程；

（2）利用点到直线的距离公式、、及直线与椭圆相切的性质即可得出；

（3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴随圆”的方程即可证明.

试题解析：（1）由题意得：，半焦距，则，所以椭圆C的方程为：，

“伴随圆”方程为.

（2）设过点P且与椭圆有一个交点的直线为：，则

，整理得，所以，化简整理得 ①

又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得

②

联立①②解得，，，所以.

（3）当直线都有斜率时，其中，设经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去y得到，即

，所以，化简整理得，因为，所以有，设当直线的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即直线的斜率之积为定值-1.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.