Question

定义在R上的函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a(f(x))²＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

[解析]　∵函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f′(x)＝0的根．

又f′(x)＝3ax²＋2bx＋c.

∴b＝0，c＝－3a.

∴f(x)＝ax³－3ax.∵3a(f(x))²＋2b(f(x))＋c＝0，∴3a(f(x))²－3a＝0.

∴f²(x)＝1.∴f(x)＝±1.

∵方程恰有6个不同的实根，

∴a<－.