Question

5．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=$\sqrt{2}$CD，∠ADC=45°．
（1）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（2）若CD=2，AA₁=λAC，二面角A-A₁C₁-D的平面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，交AC₁于点E，推导出AA₁⊥AC，A₁C⊥AC₁，由余弦定理，得AC=CD，再由勾股定理得CD⊥AC，又AA₁⊥CD，从而CD⊥平面A₁ACC₁，进而AC₁⊥CD，由此能证明AC₁⊥平面A₁B₁CD．
（Ⅱ）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．

解答 证明：（1）连结A₁C，交AC₁于点E
∵AA₁=AC，AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，又AA₁∥CC₁，
∴AA₁C₁C为正方形，∴A₁C⊥AC₁，
在△ACD中，AD=$\sqrt{2}CD$，∠ADC=45°，
由余弦定理，得AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos45°=2CD²+CD²-2$\sqrt{2}C{D}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=CD²，
∴AC=CD，
∴AD²=AC²+CD²，∴CD⊥AC，
又AA₁⊥CD，AA₁∩AC=A，
∴CD⊥平面A₁ACC₁，
∵AC₁?平面A₁ACC₁，∴AC₁⊥CD，
∴AC₁⊥平面A₁B₁CD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ACC₁，CC₁⊥平面ABC，
以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2λ），A₁（0，2，2λ），
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-2，0，2λ），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-2，2，2λ），
设平面A₁C₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-2x+2λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-2x+2y+2λz=0}\end{array}\right.$，
令z=1，解得$\overrightarrow{n}$=（λ，0，1），
由（1）知$\overrightarrow{CD}$⊥平面A₁ACC₁，∴$\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$是平面A₁ACC₁的一个法向量，
∴二面角A-A₁C₁-D的平面角的余弦值为：
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{2λ}{2\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
解得λ=2．
∴λ的值为2．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．