Question

16．已知函数f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$．
（1）求g[f（-1）]的值；
（2）试判断方程f（x）=g（x）解的个数，并判断其中一个解在区间（0，1）内．

Answer 1

分析 （1）直接求解；
（2）在同一坐标系中作出函数f（x）和g（x）的图象，
由图象可知，函数f（x）和g（x）的图象有3个不同的交点，方程f（x）=g（x）共有3个解．
设F（x）=f（x）-g（x）=-x²-x-lnx，x∈（0.1），
由F（$\frac{1}{e}$）•F（1）＜0，可判断方程的一个解在区间（0，1）

解答 解：（1）∵f（-1）=-1²+2×1=1，
∴g[f（-1）]=g（1）=ln1=0．…（4分）
（2）在同一坐标系中作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．…（6分）

由图象可知，函数f（x）和g（x）的图象有3个不同的交点，
∴方程f（x）=g（x）共有3个解．
设F（x）=f（x）-g（x）=-x²-2x-lnx，x∈（0，1），
∴F（$\frac{1}{e}$）=-（$\frac{1}{e}$）²-$\frac{1}{e}$-ln$\frac{1}{e}$$＞-（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}＞0$
F（1）=-1²-2-ln1=-3＜0，
∴F（$\frac{1}{e}$）•F（1）＜0，∴方程的一个解在区间（0，1）内．…（12分）

点评 本题考查了方程的解与函数图象交点的转换，属于中档题，