Question

19．如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到255个正方形，设初始正方形的边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则最小正方形的边长为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 推导出正方形个数{a_n}是以首项为1，公比为2的等比数列，从而得到正方形个数为8，再推导出第一个正方形的边长{b_n}是以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为首项，公比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的等比数列，由此能求出最小的正方形的边长．

解答 解：设初始正方形个数为a₁=1，依次得到a₂=2，a₃=4，
每一个正方形都可以得到2个正方形，
∴满足$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，是以首项为1，公比为2的等比数列，
∴正方形个数的和为${s_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=255$，解得n=8，
第一个正方形的边长设为${b_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，然后满足$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为首项，公比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的等比数列，
∴${b_8}={b_1}•{q^{8-1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^7}={（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^8}=\frac{1}{16}$，
∴最小的正方形的边长为$\frac{1}{16}$．
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查最小正方形的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．