题目内容

函数f（x）=
3
cos2x+sinxcosx-
3
2
（ x∈[0，
π
4
]）的取值范围是
[
1
2
，1]
[
1
2
，1]
．
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（
π
3
+2x），根据x的范围求得函数f（x）的值域．
解答：解：∵函数f（x）=
3
cos2x+sinxcosx-
3
2
=
3
•
1+cos2x
2
+
1
2
sin2x-
3
2
=
3
2
cos2x+
1
2
sin2x=sin（
π
3
+2x），0≤x≤
π
4
，
∴
π
3
≤x≤
5π
6
，∴
1
2
≤sin（
π
3
+2x）≤1．
故函数f（x）的值域为[
1
2
，1]，
故答案为[
1
2
，1]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2sin2（ωx+
π
4
）-
3
cos2ωx（ω＞0）的周期为π．
（1）求ω及函数f（x）的值域；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．
已知f(x)=3cos2ωx+
3
sinωxcosωx+a(ω＞0)，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2

（1）求ω的值，
（2）若当x∈[
π
6
，
5π
12
]时，f（x）的最小值为2，求a的值，
（3）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的递减区间．
（2012•威海二模）已知函数f(x)=sinωx•cosωx+
3
cos2ωx-
3
2
（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
π
4
．
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
（2008•湖北模拟）已知f(x)=3sinωxcosωx-
3
cos2ωx+2sin2(ωx-
π
12
)+
3
12
(ω＞0)．
（1）求函数f（x）值域；（2）若f（x）周期为π，求ω并写出该函数在[0，π]上的单调区间．
设函数f（x）=
3
cos2ωx+sinωx?cosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
π
6
．求ω的值．

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