Question

10．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n+a_n=2（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N⁺），求$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）由2S_n+a_n=2（n∈N⁺）．可得n=1时，3a₁=2，解得a₁=$\frac{2}{3}$；n≥2时，2S_n-1+a_n-1=2，可得2a_n+a_n-a_n-1=0，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$1-\frac{1}{{3}^{n}}$．可得：b_n=log₃（1-S_n+1）=-n-1，因此$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n+a_n=2（n∈N⁺）．
∴n=1时，3a₁=2，解得a₁=$\frac{2}{3}$；
n≥2时，2S_n-1+a_n-1=2，可得2a_n+a_n-a_n-1=0，解得${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$，可得：a_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）由（1）可得：${S}_{n}=\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$1-\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴b_n=log₃（1-S_n+1）=-n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．