Question

8．（1）若点P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=25的弦AB的中点，求直线AB的方程．
（2）若直线y=2x+b与圆x²+y²=4相交A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式；
（2）利用点差法求弦AB中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）圆（x-1）²+y²=25的圆心C（1，0），
点P（2，-1）为弦AB的中点，PC的斜率为$\frac{0+1}{1-2}$=-1，
∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x-2），即 x-y-3=0；
（2）设中点为M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4，
两方程相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x+2y×2=0，即x+2y=0（圆内部分）

点评 本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法．