Question

1．表达式x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=$（x，\sqrt{1-{x}^{2}}）$，$\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{1-{y}^{2}}，y）$（x，y∈[0，1]），利用$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=$（x，\sqrt{1-{x}^{2}}）$，$\overrightarrow{b}$=$（\sqrt{1-{y}^{2}}，y）$（x，y∈[0，1]）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（1-{x}^{2}）}$$\sqrt{1-{y}^{2}+{y}^{2}}$=1，当且仅当$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$且同向时取等号．
∴x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是1．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．