Question

已知：平行四边形ABCD，AB=1，BC=2，∠BAD=60°，E为AD中点．将?ABCD沿BE折成直二面角．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求点B到面ACD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明：利用CE⊥BE，面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，可得CE⊥面ABE，即可证明CE⊥AB；
（2）利用等体积求点B到面ACD的距离．

解答： （1）证明：由题意，BE=1，BC=2，CE=

3

，
∴BE²+CE²=BC²，
∴CE⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴CE⊥面ABE，
∵AB?面ABE，
∴CE⊥AB；
（2）解：取BE的中点O，则AO=

3

2

，连接OD，OC，则
∵OD=

1+ 1 4 -2×1× 1 2 ×(- 1 2 )

=

7

2

，OC=

4+ 1 4 -2×2× 1 2 × 1 2

=

13

2

，
∴AC=

13 4 + 3 4

=2，AD=

7 4 + 3 4

=

5

2

，
∵CD=1，
∴cos∠ACD=

4+1- 5 4

2×2×1

=

15

16

，
∴sin∠ACD=

31

16

，
∴S_△ACD=

1

2

×2×1×

31

16

=

31

16

，
设点B到面ACD的距离为h，则
∵S_△BCD=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴

1

3

×

3

2

×

3

2

=

1

3

×

31

16

h，
∴h=

12 31

31

，
即点B到面ACD的距离为

12 31

31

．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查面面垂直的性质，考查等体积法的运用，正确运用线面垂直的判定是关键．