题目内容
15．已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为（ ）| A． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $-\frac{{2\sqrt{3}}}{27}$ |
分析 求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1-x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．
解答 解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为
y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
把y=1-x代入y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
可得A（$\frac{1}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），B（$\frac{1}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{-\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），
可得AB的中点M为（$\frac{1}{1+\frac{a}{b}}$，$\frac{\frac{a}{b}}{1+\frac{a}{b}}$）
由过原点和线段AB中点的直线的斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即有kOM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$\frac{a}{b}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故选：A．
点评 本题考查直线的斜率的求法，注意运用联立直线方程求交点，运用中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
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如图，点F1、F2为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A、B、C分别为双曲线上三个不同的点，且AC经过坐标原点O，并满足$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线为y=2x，且一个焦点为（5，0），则双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$ | B． | $\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$ | ||
| C． | $\frac{3{x}^{2}}{25}-\frac{3{y}^{2}}{100}=1$ | D． | $\frac{3{x}^{2}}{100}-\frac{3{y}^{2}}{25}=1$ |