Question

18．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．

Answer 1

分析 （1）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{6}$]的简图；
（2）求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时f（x）的最小值得m的值，
从而求出m与函数g（x）的最大值以及对应的x值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

用“五点法”画出函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{6}$]的简图，如图所示；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]；
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{3}{2}$]，
∴函数g（x）=f（x）+m的最小值为0+m=2，
解得m=2；
∴函数g（x）的最大值$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{2}$；
即x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）+k在一个周期上的简图与应用问题，是基础题．