Question

已知P为椭圆9x²+2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且

PM

=2

MQ

，设点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且

OA

•

OB

＞

2

3

，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先设出点P以及M的坐标，求出

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(x0-x，-y)；再结合

PM

=2

MQ

，即可把点P的坐标用点M的坐标表示出来；最后把点P的坐标代入椭圆方程即可求出曲线E的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与曲线E的方程可得点A、B坐标与m之间的关系；再结合

OA

•

OB

＞

2

3

，即可求出实数m的取值范围（注意须满足直线一定与曲线E相交）．

解答：解：（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，
则Q（x₀，0），M（x，y），

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(x0-x，-y)．
∵

PM

=2

MQ

，（1分）
∴

x-x0=2(x0-x) y-y0=-2y.

∴

x0=x y0=3y

即点P的坐标为（x，3y）．（3分）
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x²+18y²=18．
即曲线E的方程为x²+2y²=2．（5分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=x+m与9x²+18y²=18联立

y=x+m x2+2y2=2.

去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
x1+x2=-

4m

3

，x1•x2=

2m2-2

3

．（7分）
由

OA

•

OB

＞

2

3

得x1•x2+y1•y2＞

2

3

．
 而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）•（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2×

2m2-2

3

+m(-

4m

3

)+m2=m2-

4

3

（10分）
∴m2-

4

3

＞

2

3

，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴实数m的取值范围是(-

3

， -

2

)∪(

2

， 

3

)．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．本题的易错点在于：忘记直线一定与圆锥曲线相交这一限制条件，从而得到错误结论．