Question

13．已知函数$f（x）=a-\frac{1}{x}$是定义在（0，+∞）上的函数．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]（m＜n），求实数a的取值范围；
（3）若不等式x²|f（x）|≤1对$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接用定义法证明；
（2）将题目条件转化为2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根，然后结合判别式求解；
（3）由x²|f（x）|≤1，令$\frac{1}{x}$=t，t∈[2，3]，用换元法化简不等式．

解答 （1）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（a-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0．
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知y=f（x）在[m，n]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，
∴m，n是f（x）=2x，即a-$\frac{1}{x}$=2x的两个不等的正根，
∴2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-8＞0}\end{array}\right.$，解得a＞2$\sqrt{2}$；
（3）解：由x²|f（x）|≤1，得$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$≤a≤$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
令$\frac{1}{x}$=t，t∈[2，3]，
则t-t²≤a≤t+t²，
∴-2≤a≤6，
故实数a的取值范围为[-2，6]．

点评 本题考查恒成立问题，考查了单调性证明的方法、单调性的应用、换元法及等价转化的思想，是中档题．