Question

19．已知变量x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤2}\\{2y-x≥1}\end{array}\right.$，
（1）求z=2x+y的取值范围；
（2）求$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的最小值；
（3）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案；
（2）由$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的几何意义，即可行域内动点与定点Q（1，0）的距离求解；
（3）由$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义，即可行域内动点与定点P（-1，-1）连线斜率的取值范围求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤2}\\{2y-x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，
（1）化z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A（0，$\frac{1}{2}$）时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为2×$0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，当直线y=-2x+z过C（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+2=4．
∴z=2x+y的取值范围为[$\frac{1}{2}$，4]；
（2）$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的几何意义为可行域内动点与定点Q（1，0）的距离，最小值为$\frac{|1×1-2×0+1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义为可行域内动点与定点P（-1，1）连线斜率的取值范围，
∵${k}_{PB}=\frac{-1-1}{-1-1}=1$，${k}_{PD}=\frac{-1-2}{-1-0}=3$，∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围为[1，3]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．