Question

已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx，g(x)＝xe^1－x，(a∈R，e为自然对数的底数)

(Ⅰ)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0，)上无零点，求a的最小值；

(Ⅲ)若对任意给定的x₀∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x_i(i＝1，2)，使得f(x_i)＝g(x₀)成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当时，由由 　　故的单调减区间为单调增区间为　4分 　　(Ⅱ)因为在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点， 　　只要对任意的恒成立，即对恒成立． 　　令则 　　再令 　　在上为减函数，于是 　　从而，，于是在上为增函数 　　故要使恒成立，只要 　　综上，若函数在上无零点，则的最小值为　8分 　　(Ⅲ)当时，函数单调递增； 　　当时，函数 单调递减 　　所以，函数当时，不合题意； 　　当时， 　　故必需满足　① 　　此时，当变化时的变化情况如下： 　　 　　∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件 　　 　　令，得当时，函数单调递增；当时，函数单调递减． 　　所以，对任意有即②对任意恒成立． 　　由③式解得：　　④ 　　综合①④可知，当时，对任意给定的在上总存在两个不同的，使成立．　14分