Question

14．已知a＞0且a≠1，解关于x的不等式2log_a（x-1）＞log_a[1+a（x-2）]．

Answer 1

分析 由对数函数的单调性化对数不等式为一元二次不等式组求解．

解答 解：∵a＞0且a≠1，则$a-（2-\frac{1}{a}）=\frac{（a-1）^{2}}{a}＞0$，即a＞2-$\frac{1}{a}$．
当a＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{1+a（x-2）＞0}\\{（x-1）^{2}＞1+a（x-2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞2-\frac{1}{a}}\\{（x-2）（x-a）＞0}\end{array}\right.$，
则当a≥2时，解集为{x|x＞a或2-$\frac{1}{a}$＜x＜2}；
当1＜a＜2时，解集为{x|x＞2或2-$\frac{1}{a}$＜x＜a}；
当0＜a＜1时，有$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{1+a（x-2）＞0}\\{（x-1）^{2}＜1+a（x-2）}\end{array}\right.$，
解得a＜x＜2，即解集为{x|1＜x＜2}．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．