Question

1．已知f′（x）是函数f（x）的导数，?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6．当x＞1时，f′（x）＜2x+1．若f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2．则实数m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用构造法设g（x）=f（x）-x²-x，推出g（x）的对称轴，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）-x²-x，g′（x）=f′（x）-2x-1
当x＞1时，g′（x）=f′（x）-2x-1＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6
∴?x∈R有g（x）=g（2-x），可得函数g（x）关于直线x=1对称．
∴函数g（x）在（-∞，1）上单调递减，
不等式f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2?g（m+1）＜g（2m）
|m+1-1|＜|2m-1|，得m²＜（2m-1）²
解得m＞1或m$＜\frac{1}{3}$．
则实数m的取值范围为：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，构造函数思想，属于中档题．