Question

19．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=-9，则λ的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．由题意可得A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（3，0），D（0，-3$\sqrt{3}$），运用向量共线的坐标表示和向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到所求值．

解答 解：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．
由题意菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，
可得A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（3，0），D（0，-3$\sqrt{3}$），
BC=2BE，可得E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
CD=λCF，即有（-3，-3$\sqrt{3}$）=λ（x_F-3，y_F-0），
可得F（$\frac{3λ-3}{λ}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$），
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=-9，可得
（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）•（$\frac{3λ-3}{λ}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$-3$\sqrt{3}$）=-9，
即有$\frac{9}{2}$•$\frac{3λ-3}{λ}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（-$\frac{3\sqrt{3}}{λ}$-3$\sqrt{3}$）=-9，
解得λ=3．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查向量共线的坐标表示，运用向量的问题坐标化是解题的关键，属于中档题．