Question

已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是     ．

Answer 1

【答案】分析：因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P′点坐标，根据P和P′的坐标写出直线方程即为定直线l的方程．
解答：解：①当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，
得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）
则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c-b），
而|FO|=-，所以|OQ|=|FQ|-|OF|=（c-b）+=，所以P（，）；
②当E、H分别为|AB|和|AC|的三等份点时，
得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）
则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c-b），而|FO|=-，
所以|OQ|=|FQ|-|OF|=（c-b）+=，所以P′（，）．
则直线PP′的方程为：y-=（x-），化简得y=-x
故答案为：y=-x
点评：此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题．