Question

就m的不同取值，指出方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）所表示的曲线的形状，并证明．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件

专题：直线与圆

分析：对于所给的方程，当m=1、m=3时，易得方程表示的图形；当m≠1，且 m≠3时，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，再分3-m=m-1、（3-m）（m-1）大于零、小于零三种情况，分别求得方程表示的曲线形状，综合可得结论．

解答：解：对于方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m），①当m=1时，方程即2y²=0，即 y=0，表示x轴；
②当m=3时，方程即2x²=0，即 x=0，表示y轴；
③当m≠1，且 m≠3时，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，
若3-m=m-1，即m=2时，方程即为圆：x²+y²=1，表示一个单位圆； 
若（3-m）（m-1）＜0，即m＞3或者m＜1时，方程表示双曲线；
若（3-m）（m-1）＞0且3-m≠m-1，即1＜m＜3，且m≠2时，方程表示椭圆．
综合可得：当m=1，方程表示x轴，当m=3；方程表示y轴；当m=2时，方程表示圆；当1＜m＜3且不等于2时，方程表示椭圆；
当m＞3或者m＜1时，方程表示双曲线．

点评：本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．