Question

4．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影为|$\overrightarrow{DB}$|cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{BC}$＞，计算可得．

解答 解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，即有BC=$\sqrt{3}$，
由AB²=AC²+BC²，可得∠ACB=90°，
∠ABC=30°，
D为AB的中点，可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，
即有向量$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影为|$\overrightarrow{DB}$|cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{BC}$＞=1•（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．