Question

17．如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连接AP、EF、PF，其中PF=2$\sqrt{5}$．
（1）求证：平面PEF⊥平面ABED；
（2）求点F到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理证明PF⊥BF，PF⊥EF得出PF⊥平面ABED，故平面PEF⊥平面ABED；
（2）根据V_F-PBE=V_P-BEF列方程解出点F到平面PBE的距离．

解答 证明：（1）∵PB=6，BF=4，PF=2$\sqrt{5}$，
∴PB²=PF²+BF²，∴PF⊥BF．
∵PE=12-3=9，EF=$\sqrt{{6}^{2}+（12-3-4）^{2}}$=$\sqrt{61}$，PF=2$\sqrt{5}$，
∴PF²+EF²=PE²，∴PF⊥EF．
又BF?平面ABED，EF?平面ABED，BF∩EF=F，
∴PF⊥平面ABED，又PF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面ABED．
（2）设F到平面PBE的距离为h，则V_F-PBE=$\frac{1}{3}$S_△PBE•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×PB×PE×h=9h，
又V_F-PBE=V_P-BEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•PF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BF×AD×PF$=8$\sqrt{5}$．
∴9h=8$\sqrt{5}$，h=$\frac{8\sqrt{5}}{9}$．
∴点F到平面PBE的距离为$\frac{8\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积和空间距离的计算，属于中档题．