Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，求△MNF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2））根据$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$可知，M，N分别为AB，DE的中点，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+1，不妨设m＞0，联立椭圆C有（m²+2）y²+2my-1=0，根据韦达定理弦长公式，转化求解三角形的面积，通过换元法以及基本不等式求解三角形的最值．

解答 解：（1）根据条件有$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2{b^2}\\ \frac{1}{{2{a^2}}}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，所以椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）根据$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$可知，M，N分别为AB，DE的中点，且直线AB，DE斜率均存在且不为0，
现设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+1，
不妨设m＞0，联立椭圆C有（m²+2）y²+2my-1=0，
根据韦达定理得：${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+2}}$，${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）+2=\frac{4}{{{m^2}+2}}$，$M（\frac{2}{{{m^2}+2}}，\frac{-m}{{{m^2}+2}}）$，$|MF|=\frac{{m\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+2}}$，
同理可得$|NF|=\frac{{|-\frac{1}{m}|\sqrt{{{（-\frac{1}{m}）}^2}+1}}}{{{{（-\frac{1}{m}）}^2}+2}}$，
所以△MNF面积${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}|MF||NF|=\frac{{m+\frac{1}{m}}}{{4{{（m+\frac{1}{m}）}^2}+2}}$，
现令$t=m+\frac{1}{m}≥2$，
那么${S_{△MNF}}=\frac{t}{{4{t^2}+2}}=\frac{1}{{4t+\frac{2}{t}}}≤\frac{1}{9}$，
所以当t=2，m=1时，△MNF的面积取得最大值$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形面积的最值的求法，基本不等式以及换元法的应用．