Question

6．已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=-1，a₅=5．
（1）求{a_n}的通项a_n；       
（2）若b_n=a_n+2ⁿ，求{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₅-a₂=3d=6，求得d=2，a₂=a₁+d=-1，a₁=-3，由等差数列通项公式则a_n=2n-5；
（2）b_n=a_n+2ⁿ=（2n-5）+2ⁿ，采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得{b_n}前n项和S_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}公差为d，a₅-a₂=3d=6，即d=2．
a₂=a₁+d=-1，
解得：a₁=-3，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n-5，
数列{a_n}的通项a_n，a_n=2n-5；
（2）由b_n=a_n+2ⁿ=（2n-5）+2ⁿ，
则{b_n}前n项和S_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=-3+2+（-1）+2²+1+2³+…+（2n-5）+2ⁿ，
=[-3+（-1）+1+…+（2n-5）]+2+2²+2³+…+2ⁿ，
=$\frac{（-3+2n+5）n}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$，
=n²-4n+2ⁿ⁺¹-2，
{b_n}前n项和S_n，S_n=n²-4n+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等差数列的通项公式，等差数列及等比数列前n项和公式的求法，考查分组求和，考查计算能力，属于中档题．