Question

14．函数y=-sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$，一个对称中心为（$\frac{7π}{12}$，0），在区间[0，$\frac{π}{3}$]上单调．
（1）求ω，φ的值；
（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．
（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}T≥\frac{π}{3}}\\{\frac{2k+1}{4}•T=\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{ω}≥\frac{π}{3}}\\{\frac{2k+1}{4}×\frac{π}{ω}=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ω≤3}\\{ω=4k+2}\end{array}\right.$
又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，
x=$\frac{2π}{3}$为对称轴，2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，所以φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
又φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，π]，
所以2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
列表：

2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
f（x）	-$\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	$\frac{1}{2}$

画图：

点评 本题主要考查三角函数的周期，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．