Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-$\frac{3}{5}$．若a=8，b=$\sqrt{3}$，那么∠B=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 已知等式左边第一项第一个因式利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用诱导公式变形，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化简，即可求出cosA的值，再求出sinA，根据正弦定理即可求出sinB，问题得以解决

解答 解：$2{cos^2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB$+cos（A+C）=$-\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B）cosB+cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B+B）=-$\frac{3}{5}$，
∴cosA=-$\frac{3}{5}$，
∵0＜A＜π
∴sinA=$\frac{4}{5}$
∵a=8，b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，a=8，b=$\sqrt{3}$
∴sinB=$\frac{b}{a}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{10}$，B为锐角
∴B=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$，
故答案为：arcsin$\frac{\sqrt{3}}{10}$

点评 此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式解本题的关键．