Question

15．设函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f₁（x）=f（f（x）），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，那么下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的图象关于点（-1，1）对称，f₂₀₁₆（0）=0
• B． f（x）的图象关于点（-1，-1）对称，f₂₀₁₆（0）=0
• C． f（x）的图象关于点（-1，1）对称，f₂₀₁₆（0）=1
• D． f（x）的图象关于点（-1，-1）对称，f₂₀₁₆（0）=1

Answer 1

分析 根据函数f（x），求出f₁（x）、f₂（x），…，f_n+1（x）的解析式，即可得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
∴f₁（x）=f（f（x））=x，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{1-x}{1+x}$，
…，
f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*；
又f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，
由函数y=$\frac{1}{x}$的对称点是（0，0），
f（x）的图象是y=$\frac{1}{x}$的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
所以f（x）的图象关于点（-1，-1）对称，且f₂₀₁₆（0）=$\frac{1-0}{1+0}$=1．
故选：D．

点评 本题考查了归纳推理的应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，是基础题目．