Question

10．数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+b_n=2n-1，n∈N^*．
（1）若{a_n}的前n项和S_n=2n²-n，求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=k•2^n-1，n∈N^*，数列{b_n}是单调递减数列，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据当n≥2时a_n=S_n-S_n-1进行求解即可得{a_n}、{b_n}的通项公式；
．（2）根据a_n+b_n=2n-1，求出b_n=2n-1-k•2^n-1，利用b_n}是单调递减数列，建立不等式，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-2（n-1）²+（n-1）=4n-3，
当n=1时，a₁=S₁=2-1=1，满足a_n=4n-3，
∴a_n=4n-3，
∵a_n+b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1-a_n=2n-1-4n+3=-2n+2．
（2）若a_n=k•2^n-1，
则由a_n+b_n=2n-1得b_n=2n-1-a_n=2n-1-k•2^n-1，
∵数列{b_n}是单调递减数列，
∴b_n+1＜b_n，
即2（n+1）-1-k•2ⁿ＜2n-1-k•2^n-1，
即2＜k•2ⁿ-k•2^n-1=k•2^n-1，
即$k＞\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$，恒成立，
∵$\frac{2}{{2}^{n-1}}$在n≥1时为减函数，
∴当n=1时，函数取得最大值为2，
即k＞2．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推关系，结合数列的单调性的性质进行转化是解决本题的关键．