Question

（2007•普陀区一模）已知函数f（x）=x+lg

1+x

1-x

．
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据函数解析式的特性只需接不等式

1+x

1-x

＞0即可．而要证明函数f（x）是奇函数需先说明定义域关于原点对称再说明f（-x）=f（x）．
（2）可先利用函数单调性的定义给出证明再给出判断．

解答：解：（1）∵f（x）=x+lg

1+x

1-x

∴

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1即定义域为（-1，1）
又∵定义域为（-1，1）关于原点对称且f（-x）=（-x）+lg

1-x

1+x

=-x+lg(

1+x

1-x

)-1=-（x+lg

1+x

1-x

）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
（2）函数f（x）在定义域内的单调递增．理由如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂则f（x₁）-f（x₂）=（x1+lg

1+x1

1-x1

）-（x2+lg

1+x2

1-x2

）
=（x₁-x₂）+（lg

1+x1

1-x1

- lg

1+x2

1-x2

）
∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0且

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

= 

2( x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴

1+x1

1-x2

＜

1+x2

1-x2

又∵y=lg^x在（0，+∞）单调递增
∴lg

1+x1

1-x2

＜ lg

1+x2

1-x2

∴lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-1，1）单调递增．

点评：本题主要考查了函数定义域的求法和奇偶性单调性的判断与证明．解题的关键是能根据函数的特性求出定义域再根据函数奇偶性的判定方法（①看定义域为是否关于原点对称②求出f（-x）若f（-x）=f（x）为偶函数；若f（-x）=-f（x）为奇函数））判断函数f（x）的奇偶性而第二问可采用先根据单调性的定义给出证明再作出判断即可．