Question

14．圆锥曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）．
（1）若曲线C是圆，且直线y=kx-2（k＞0）与该圆相切，求实数k；
（2）设a＞1，曲线C的一个焦点为F（c，0）（c＞0），它与y轴正半轴交于点B，过点B且垂直于BF的直线l与x轴相交于点D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），与曲线C的另一个交点为E，求a以及线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）由直线y=kx-2（k＞0）与该圆相切，可得d=$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解方程可得k；
（2）由题意可得b=1，F（c，0），B（0，1），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得c，a，可得椭圆方程，联立直线BE的方程，求得交点，由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）若曲线C是圆，则a=1，
圆为x²+y²=1，
由直线y=kx-2（k＞0）与该圆相切，可得
d=$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\sqrt{3}$（负的舍去）；
（2）由题意可得b=1，F（c，0），B（0，1），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
由BF⊥BD，可得k_BF•k_BD=-1，
即为$\frac{1}{-c}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=-1，可得c=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2；
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
直线BE的方程为y=$\sqrt{3}$x+1，
代入椭圆方程可得7x²+6$\sqrt{3}$x=0，
解得x=0或-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
即有E（-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{5}{7}$），
即有|BE|=$\sqrt{\frac{48}{49}+\frac{144}{49}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查直线和圆相切的条件：d=r，考查直线和椭圆方程联立，求交点，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．