Question

12．若不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1对于一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1对于一切非零实数x恒成立，可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$＞|a|+1，利用基本不等式的性质可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$，即可得出．

解答 解：∵|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2，当且仅当x=±1时取等号．
由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1对于一切非零实数x恒成立，
∴2＞|a|+1，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．