Question

16．已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），且a₃+a₇=20，a₂+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$，数列{b_n}的前n项和S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），得数列{a_n}为等差数列，设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，解出首项和公差，从而写出通项公式和求和公式；
（Ⅱ）根据{a_n}的通项，化简b_n，并拆成两项的差，注意前面乘一个系数，然后运用裂项相消求和，应注意消去哪些项，保留哪些项，可以多写几项，找出规律．

解答 解：（Ⅰ）由2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），得数列{a_n}为等差数列，
设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，
∵a₃+a₇=20，a₂+a₅=14．
∴a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
当n∈N⁺，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列求和的重要方法：裂项相消求和，应注意求和时哪些项消去，哪些项保留．