Question

5．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{3}{2}$ax²+$\frac{3}{2}$a（a∈R），其导函数为f′（x）．
（1）求函数g（x）=f′（x）+（3a-1）x的极值；
（2）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，则则g（x）=f'（x）+（3a-1）x=lnx-x=1；根据g（x）的单调性与导函数间的关系即可；
（2）首先对参数a分类讨论，当a≤0时，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾；当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx-3ax+1，根据φ（x）的单调性判断f（x）的图形特征即可；

解答 解：（1）由题知x＞0，f'（x）=lnx-3ax+1，则g（x）=f'（x）+（3a-1）x=lnx-x=1，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$，
当0＜x＜1时，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，g（x）为增函数；
当x＞1时，g'（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，g（x）为减函数．
所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．
（2）由题意，f'（x）=lnx-3ax+1
（ I）当a≤0时，f'（x）=lnx-3ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．
（II）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx-3ax+1，则φ'（x）=$\frac{1}{x}-3a$，且$\frac{1}{x}∈（0，1）$
①当3a≥1，即a$≥\frac{1}{3}$时，φ'（x）=$\frac{1}{x}$-3a＜0，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）＜φ（1）=1-3a≤0，f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以
f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．
 ②当0＜3a＜1，即0＜a＜$\frac{1}{3}$时，$\frac{1}{3a}＞1$，φ'（x）=$\frac{1}{x}$-3a=$\frac{-3a（x-\frac{1}{3a}）}{x}$，
若x∈（1，$\frac{1}{3a}$），则φ'（x）＞0，φ（x）在（1，$\frac{1}{3a}$）上单调递增；
若x∈（$\frac{1}{3a}$，+∞），则φ'（x）＜0，φ（x）在（$\frac{1}{3a}$，+∞）上单调递减．
又φ（1）=1-3a＞0，所以φ（x）＞0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，即f'（x）＞0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，
所以f（x）在（1，$\frac{1}{3a}$）上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在（1，$\frac{1}{3a}$）上恒成立，
所以0＜a＜$\frac{1}{3}$ 不符合题意．
综上所述，a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及构造新函数、分类讨论思想的应用，属中等题．