Question

7．如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，给出下列四个结论：
①∠1=∠2=∠3；②AM•CN=CM•BN；③CM=CD=CN；④△ACM∽△ABC∽△CBN．
则其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用圆周角判断①的正误；相似三角形判断②的正误；三角形全等判断③的正误；三角形相似判断④的正误．即可得出结论．

解答 解：∵AB是圆O的直径，CD⊥AB，∴∠2=∠3，
∵直线MN切圆O于C，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3，①对；
利用△AMN∽△CNB得$\frac{AM}{CM}$=$\frac{CN}{BN}$，∴AM•BN=CM•CN，②错．
利用△AMN≌△ADC，可得CM=CD，△CDB≌△CNB，可得CD=CN，∴CM=CD=CD，③对；
利用等角的余角相等得到△ACM∽△ABC∽△CBN，④对．
故答案为：①③④．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．