Question

15．某椭圆左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆上，则求该椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义求出c，利用椭圆的定义求出2a，进行求解即可．

解答 解：∵圆左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），
∴右焦点为N（$\sqrt{3}$，0），且c=$\sqrt{3}$，
∵A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆上，
∴2a=|AF|+|AN|=$\sqrt{（1+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{（4+\sqrt{3}）^{2}}}{2}$+$\frac{\sqrt{（4-\sqrt{3}）^{2}}}{2}$=$\frac{4+\sqrt{3}}{2}+\frac{4-\sqrt{3}}{2}$=4，
∴a=2，则b²=a²-c²=4-3=1，
即椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
故答案为：为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1

点评 本题主要考查椭圆方程的求解，根据条件建立a，b，c的关系进行求解是解决本题的关键．