Question

17．某品牌电脑专卖店的年销售量y与该年广告费用x有关，如表收集了4组观测数据：

x（万元）	1	4	5	6
y（百台）	30	40	60	50

以广告费用x为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析．
（1）已知这两个变量呈线性相关关系，试建立y与x之间的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，请根据你得到的模型，预测这一年的销售量y．
参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根据题意计算平均数$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（2）利用回归方程计算x=10时y的值即可．

解答 解：（1）根据题意，计算$\overline{x}=\frac{1+4+5+6}{4}=4$，
$\overline{y}=\frac{30+40+60+50}{4}=45$，
又$\sum_{i=1}^4{{x_i}•{y_i}}=790$，
$\sum_{i=1}^4{{x_i}^2}=78$；…（4分）
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{790-4×4×45}{78-4{×4}^{2}}$=5，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$=45-5×4=25，…（7分）
∴所求回归直线方程为$\hat y=5x+25$；…（8分）
（2）由已知得，x=10时，$\hat y=5×10+25=75$（百台），
∴可预测该年的销售量为75百台．     …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．