Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，点M是椭圆上一点，三角形MF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{2}$
（1）求椭圆的标准方程
（2）设不经过焦点F₁的直线λ：y=kx+m与椭圆交于两个不同的点A、B，焦点F₂到直线l的距离为d，如果直线AF₁，l，BF₁的斜率依次成等差数列，求d的取值范围？

Answer 1

分析 （1）由题意可知：当M位于上顶点或下顶点时三角形MF₁F₂的面积最大，即S=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\sqrt{2}$，即bc=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$c，由a²=b²+c²，即可求得a，b和c的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0，求得2k²+1＞m²，利用直线AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差数列及y₁=kx₁+m、y₂=kx₂+m、计算可知x₁+x₂+2=0，由韦达定理可知$m=\frac{2}{3k}+k$，进而可知k²＞$\frac{1}{3}$，通过点到直线的距离公式可得d=$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{|{2k+\frac{2}{3k}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2+\frac{2}{{3{k^2}}}}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$，t=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$（1＜t＜2），设d=f（t）=$\frac{{\frac{2}{3}{t^2}+\frac{4}{3}}}{t}=\frac{2}{3}（{t+\frac{2}{t}}）$由基本不等式的性质及函数的单调性即可求得d的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
当M位于上顶点或下顶点时三角形MF₁F₂的面积最大，即S=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\sqrt{2}$，即bc=$\sqrt{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，
由椭圆的性质可知：a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；（4分）
（2）设A（x₁．y₁），B（x₂•y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}2{x^2}+3{y^2}-6=0\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2+3{k^2}）{x^2}+6kmx+3{m^2}-6=0$，
由△＞0，即（6km）²-4（3m²-6）（2+3k²）＞0，
整理得：m²＜3k²+2，①
由韦达定理定理可知：$\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{2+3{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{2+3{k^2}}}\end{array}$，（6分）
由直线AF₁，l，BF₁的斜率依次成等差数列，
∴${k}_{A{F}_{1}}$+${k}_{A{F}_{2}}$=2k，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k，
即$\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}+1}}+\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}+1}}=2k$
化简得（m-k）（x₁+x₂+2）=0，
∵m≠k，
∴x₁+x₂=-2（8分）
即$\frac{-6km}{{2+3{k^2}}}=-2$，解得：$m=\frac{2}{3k}+k$②
由①②可得k²＞$\frac{1}{3}$（10分）
又d=$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{|{2k+\frac{2}{3k}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2+\frac{2}{{3{k^2}}}}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$，
令t=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$（1＜t＜2），
设d=f（t）=$\frac{{\frac{2}{3}{t^2}+\frac{4}{3}}}{t}=\frac{2}{3}（{t+\frac{2}{t}}）$≥$\frac{2}{3}$•2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，（1＜t＜2），
当且仅当t=$\frac{2}{t}$时，即t=$\sqrt{2}$时，取最小值，
函数的单调性可知：当t=1或t=2时，取最大值，最大值为f（2）=f（1）=2，
∴$\frac{4\sqrt{2}}{3}$≤f（t）＜2，
∴d的取值范围[$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，2）．（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系、等差数列的中项的性质，函数的单调性及基本不等式的性质，考查运算求解能力，综合性较强，注意解题方法的积累，属于难题．