Question

5．过直线x-y-2=0上的动点P作抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的切线，切点分别为M，N，则直线MN过点（1，2）．

Answer 1

分析 由导数的几何意义，求得切线方程，联立求得P点坐标，设直线MN的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x₀=k，y₀=-b，代入直线方程，即可求得直线MN方程，即可求得直线恒过定点．

解答 解：设M（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀）．
∵y=$\frac{1}{2}$x²，∴y′=x．
则在点M处的切线方程为y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），化为y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²．①
同理在点B处的切线方程为y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²．②
由①②得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，显然直线AB存在斜率．
设直线MN的方程是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，即x₀=k，y₀=-b，
代入x₀-y₀-2=0，得b=2-k，
∴y=kx+b=kx+2-k，
∴y-2=k（x-1）
因此直线MN恒过定点（1，2），
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．