Question

19．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，1），且在点M（1，f（1））处的切线方程为2x-y-5=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的切线方程，通过对应关系，求出系数的值，求出函数的表达式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）把P（0，1）代入f（x）解得：d=1，
∴f（x）=x³+bx²+cx+1，f′（x）=3x²+2bx+c，
f（1）=b+c+2，f′（1）=2b+c+3，
∴切线方程是：y-（b+c+2）=（2b+c+3）（x-1），
即（2b+c+3）x-y-（b+1）=0，
而切线方程为2x-y-5=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b+c+3=2}\\{b+1=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+4x²-9x+1；
（2）f′（x）=3x²+8x-9，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$或x＜$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$＜x＜$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$）递增，在（$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$）递减，在（$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$，+∞）递增．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性，是一道基础题．