Question

8．若函数f（x）=$\frac{4x}{{{x^2}+1}}$在区间[m，m+1]上是单调递增函数，则实数m的取值范围是[-1，0]．

Answer 1

分析 可求导数得到$f′（x）=\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，这样便可得出函数f（x）的单调递增区间，而由条件函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增便可得出关于m的不等式组，从而求出实数m的取值范围．

解答 解：$f′（x）=\frac{4（{x}^{2}+1）-8{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}=\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∴-1≤x≤1时，f′（x）≥0；
即区间[-1，1]是f（x）的单调递增区间；
又f（x）在[m，m+1]上是单调递增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{m+1≤1}\end{array}\right.$；
∴-1≤m≤0；
即实数m的取值范围是[-1，0]．
故答案为：[-1，0]．

点评 考查商的导数的计算公式，用导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解法，以及区间的概念及数轴表示区间的方法．